Massas girantes acopladas
(Determinação dinâmica do centro de massa)

Dúvidas e Perguntas?

Em 1844 o astrônomo alemão Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) observou uma estranha oscilação no movimento de Sirius, a Canis Majoris. Sabemos que um corpo deve se deslocar em linha reta se não for submetido a forças externas. Sem uma explicação para o fenômeno, ele sugeriu que Sirius seria uma estrela dupla, que gravitaria em torno de uma companheira invisível, e que o centro de massa do sistema é que se deslocava em linha reta. Em 1862 Alvan Grahan Clark (1832-1897) comprovou a teoria de Bessel, fotografando uma débil mas massiva estrela mergulhada no halo brilhante de Sirius. A grande diferença de brilho e a proximidade de Sirius B, como foi chamada, impediu que Bessel a identificasse.
Posteriormente muitas estrelas mútiplas foram descobertas observando oscilações nas suas posições. A recente pesquisa de planetas extra-solares também usa este método.
Quando analizamos os movimentos do sistema Terra-Lua acabamos chegando à conclusão que ambas estão sujeitas ao mesmo fenômeno e giram em torno de um ponto comum: o centro de massas (CM).
Como localizar este ponto?

Estes fenômenos não ocorrem somente no espaço. Quando observamos um ventilador de teto oscilando devido a um desbalanceamento, normalmente atribuímos esta oscilação a uma massa maior na pá que gira mais externamente, e quando tentamos corrigir o problema retirando peso, observamos que a situação se agrava. O que ocorreu?

As massas girantes têm um comportamento estranho! Imagine um sistema constituído por um pequeno motor de massa M, de velocidade variável, e por uma massa m descentralizada fixada em seu eixo. Para permitir um movimento relativo do conjunto ele será montado sobre molas de massa desprezível.

A equação F=m x v²/ R nos dá o valor da força centrípeta gerada pela rotação da massa m. Através de um reostato, vamos acelerando gradualmente o motor. A rotação gera forças que mudam de direção e aumentam de módulo, enquanto que a mola responde com sua constante de elasticidade, passando por freqüências ressonantes, que sacodem o motor de maneira complexa, de difícil equacionamento.
Aumentando a rotação seu movimento se torna cada vez mais violento, quase arrancando o motor da base. Mais um aumento na rotação e acontece um fenômeno estranho. A massa giratória assume o controle da situação e o conjunto se estabiliza num regime de amplitude constante. Aumentando mais a rotação, aumentamos a frequência de vibração, mas a amplitude se mantém. O que aconteceu? A rotação crítica foi ultrapassada! As forças giratórias se tornaram maiores que as outras e assumiram o contrôle. O movimento das massas girantes pode ser agora facilmente equacionado.
O conjunto automáticamente encontrou o centro de massas do sistema e o motor agora também gira em torno deste ponto com uma amplitude a = m R / (M + m). Se construirmos um gráfico destes deslocamentos em função do tempo teremos algo assim:

O aumento da força F causado pela rotação da massa m foi neutralizado pelo aparecimento de uma segunda força F₁ de módulo igual e sentido contrário, que atua sobre a massa M, que agora também gira em torno do centro de massas, neutralizando a primeira. Se a rotação for aumentada as duas forças crescerão proporcionalmente e a amplitude será mantida. Se a rotação for diminuída, as forças serão proporcionalmente reduzidas até um ponto crítico, abaixo do qual a combinação de forças ressonantes com a freqüência natural de vibração da mola novamente tornarão o movimento irregular e complexo até a paralisação.

Estáticamente, sabemos que o ponto de equilíbrio de duas massas ligadas por uma barra rígida se encontra em um ponto O tal que M₁ x d₁ = M₂ x d_2. porque as massas aceleradas pela gravidade vão gerar momentos proporcionais às distâncias do ponto de apoio. No caso das massas girantes no espaço, ligadas pelas leis da gravitação, ocorre a mesma coisa, só que a aceleração centrípeta assume imediatamente o controle. Para estudar este fenômeno, vamos construir um aparêlho que permita sua demonstração. Como não podemos nos livrar do campo gravitacional da Terra, vamos construir um dispositivo que desconsidere esta aceleração, ou que minimize sua influência. Para isso vamos tomar um conjunto de massas suspensas por fios de peso desprezível.

Material

Você vai precisar de:
- uma régua de madeira de 2 x 1 x 50 cm
- pedaços de arame de Ø 2 mm para os ganchos e a manivela
- arame de aço de Ø 0,6 mm para os fios de suspensão
- massas de chumbo de massas diferentes (chumbadas para pesca servem)
- grampo para fixação da régua em uma mesa

Montagem

Faça um furo de 2 mm próximo à extremidade da régua e instale uma pequena manivela de arame neste furo com um mancal que permita sua rotação livre. Faça um gancho na parte inferior da manivela. Faça um gancho para suportar as massas e monte em um arame de Ø0,6 mm com 60 cm de comprimento, fazendo alças nas pontas.

Coloque alças em todas as massas de chumbo, usando pitons ou pedaços de arame. Fixe a régua a uma mesa, usando o grampo. Como o fio central tem liberdade lateral para se movimentar, ele vai oscilar permitindo que as massas encontrem rapidamente o centro de massa do conjunto.

Procedimento

Selecione as massas e monte como na ilustação. Com as massas em repouso, gire o conjunto lentamente até que as massas se separem. Aumente a rotação até a estabilização. Mostre onde fica o CM do conjunto. Troque a massa maior e repita a experiência mostrando o deslocamento do centro de massas. Repita a experiência com uma massa 81 vezes maior que a menor, para simular a situação Terra-Lua.
Se o dispositivo for montado abaixo de uma lâmpada, a sombra das trajetórias das massas poderá ser registrada em uma folha de papel para facilitar a medição.

- Forneça o peso das massas e peça a seus alunos que calculem a distância de centro de massas e comparem com os dados observados.
- Peça para calcularem a posição do centro de massa do sistema Terra-Lua. Como este dado pode ser comprovado na prática? (veja na Sala 24 - Seção Dicas Entendendo as Marés)
- Forneça os dados (seção Astronomia O Sol / Os planetas e seus satélites) e peça que calculem o centro de massa do sistema Sol-Júpiter
- O que acontece com este centro de massa se considerarmos todos os planetas?
- O que acontece quando observamos um "alinhamento de planetas", como o ocorrido em maio de 2002?
- Que devemos fazer para balancear um ventilador de teto ou uma roda de carro?